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%% An example for ConTeXt on e-pTeX %%
%%                                  %%
%% texexec --eptex casimir          %%
%%                                  %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
% Some useful macros
%
% ---------------
% (1) boldmath with normal size
%
\def\bm#1{\hbox{\bi #1}}
% ---------------
% (2) boldmath with script size
%
\def\sbm#1{\hbox{\bix #1}}
% ---------------
% (3) boldmath with scriptscript size
%
\def\ssbm#1{\hbox{\bixx #1}}
% ---------------
% (4) pmatrix
%
\definemathmatrix
[pmatrix]
[left={\left(\,},right={\,\right)}]
% ---------------
% (5) vmatrix or determinant
%
\definemathmatrix
[vmatrix]
[left={\left|\,},right={\,\right|}]
%
% Usages of the above definitions
%
% \startformula
%  \startpmatrix[n=4]
%  \NC a \NC b \NC c \NC X \NR
%  \NC 1 \NC 2 \NC 3 \NC Y \NR
%  \NC A \NC B \NC C \NC Z \NR
%  \stoppmatrix
% \stopformula
%
% \startformula
%  \startvmatrix[n=3]
%  \NC a \NC b \NC c \NR
%  \NC 1 \NC 2 \NC 3 \NR
%  \NC A \NC B \NC C \NR
%  \stopvmatrix
% \stopformula
%
%
%
\usemodule[bib]
\setupbibtex[database=twobooks]
\setuppublications[numbering=yes,refcommand=num]
\setupcite[left={[},right={]}]
\setupheadtext[en][pubs=参考文献]
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\setuphead[subsection][style=\bfa]
%
\setuplist[section][style=bold]
\setuplist[subsection][style=bold]
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%
%
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%
%
\starttext
\midaligned{%
\bfc 典型リー群のカシミア不変量
}
\blank[big]
\rightaligned{%
\tf 角藤 亮
}
\midaligned{%
June 11, 1997
}
\blank[small]
\midaligned{%
\bf 概要
}
\blank[small]
\startnarrower[2*middle]
これは1981年3月30日発行の近畿大学九州工学部教養論集第3巻第3号で
出版されたものを再録したものであり、物理で有用なカシミア不変量に
ついて解説したものである。
\stopnarrower
%
%
%
\completecontent
%
%
%
\section{始めに}
物理学ではある力学系が、ある種の変換に対して不変である場合を扱う
場合が多く、その変換群としてLie群の初歩的知識が必要になることが多い。
その際、物理量を表すものとしてカシミア不変量(Casimir invariants)を
必要とすることがしばしばある。例えばゲージ理論の2次の摂動では2次の
カシミア不変量が登場する。また、chiral anomaly が無いゲージ模型を
作るためには、種々の表現に属するWeyl spinors の3次カシミア不変量
を調べなければならない。従って任意の次数のカシミア不変量に対する
一般的な公式を使いやすい形で与えておくことは応用上非常に便利であり、
重要でもあると考えられる。そこでこの論文では典型リー群のcompact form
すなわち$SU(n)$, $SO(2n+1)$, $Sp(2n)$, および$SO(2n)$のカシミア
不変量についての一般的な取り扱い方について解説し、あわせて応用上
有用な公式を2$\sim$3あげることにしたい。参考文献
として\cite[Barut]と\cite[Gilmore]をあげておく。
%
%
\blank[big]
\section{定義}
Lie群を$G$とし、そのLie algebraを$L_G$と書くことにしよう。
任意の$X\in L_G$に対して
\placeformula[eq-21]
\startformula
{[}X,C{]} = 0
\stopformula
を満たす$C$をCasimir invariant operatorあるいは単にCasimir invariantと
いう。$L_G$のbasesを$X_i$, $(i=1,2,\ldots,n)$としよう。ここで$n$は
多様体としての$G$の次元である。
\placeformula[eq-22]
\startformula
{[}X_i, X_j{]} = c_{ijk} X_k
\stopformula
で$L_G$の構造定数$c_{ijk}$を定義する。特にことわらない限り同じ添え字が
2回あれば和をとるものと約束する。ここではcompact groupだけに注目するので、
添え字の上下については気をくばらない。今、adjoint 表現の表現行列を
\placeformula[eq-23]
\startformula
U = \exp(\theta_i F_i),\quad (F_i)_{jk} = -c_{ijk} 
\stopformula
とするとき
\placeformula[eq-24]
\startformula
g_{i_1 i_2 \cdots i_p} =
U_{i_1 j_1} U_{i_2 j_2} \cdots U_{i_p j_p}\,\, g_{j_1 j_2 \cdots j_p}
\stopformula
を満たすテンソル$g$をadjoint groupに対するinvariant tensorという。(\in[eq-24])を
無限小変換の形で書くと
\placeformula[eq-25]
\startformula
\sum_k\, \theta_i \,c_{i i_k j}\, g_{i_1 \cdots i_{k-1} j i_{k+1} \cdots i_p}=0
\stopformula
となる。 さて$g$がinvariant tensorであれば
\placeformula[eq-26]
\startformula
C_p = g_{i_1 i_2 \cdots i_p}\,X_{i_1} X_{i_2} \cdots X_{i_p}
\stopformula
はCasimir invariantである。何故ならば、$X = X_i \theta_i$とするとき
\startformula
 \startalign
   \NC {[}X, C_p{]} \NC = g_{i_1 \cdots i_p} \sum_k X_{i_1} \cdots X_{i_{k-1}}
                          {[}X, X_{i_k}{]} X_{i_{k+1}} \cdots X_{i_p} \NR
   \NC              \NC = \theta_i g_{i_1 \cdots i_p} \sum_k X_{i_1}
                          \cdots X_{i_{k-1}} c_{i i_k j} X_j X_{i_{k+1}}
                          \cdots X_{i_p} \NR
 \stopalign
\stopformula
であるが、ここでdummy indices $i_k$と$j$を入れ換えると
\startformula
 \startalign
   \NC {[}X, C_p{]} \NC = \theta_i \sum_k g_{i_1 \cdots i_{k-1} j i_{k+1}
                          \cdots i_p} c_{i j i_k} X_{i_1} \cdots X_{i_p}   \NR
   \NC              \NC = -\sum_k \theta_i c_{i i_k j}
                          g_{i_1 \cdots i_{k-1} j i_{k+1}
                          \cdots i_p} X_{i_1} \cdots X_{i_p} \NR
 \stopalign
\stopformula
となり、これは(\in[eq-25])より$0$となるからである。

次に$L_G$のある表現を$\Lambda_i$とするとき、
\placeformula[eq-27]
\startformula
g_{i_1 \cdots i_p} = {\rm Tr} \left(\Lambda_{i_1} \cdots \Lambda_{i_p}\right)
\stopformula
はadjoint groupに対するinvariant tensorであることを示そう。明らかに$\Lambda_i$自
身$G$のadjoint表現をなすから、無限小変換に対して
\placeformula[eq-28]
\startformula
\delta \Lambda_j = -\theta_i \,c_{i j k} \Lambda_k =
                   -\theta_i {[}\Lambda_i, \Lambda_j{]}
                 = -{[}\Lambda, \Lambda_j{]},\quad \Lambda = \theta_i \Lambda_i
\stopformula
のように変換する。従って
\placeformula
\startformula
 \startalign
 \NC \delta g_{i_1 i_2 \cdots i_p} \NC =
     -\sum_k {\rm Tr} \left(\Lambda_{i_1} \cdots \Lambda_{i_{k-1}}
     {[}\Lambda, \Lambda_{i_k}{]} \Lambda_{i_{k+1}} \cdots \Lambda_{i_p}
     \right) \NR
 \NC \NC = -\sum_k {\rm Tr} \left(\Lambda \Lambda_{i_k} \cdots \Lambda_{i_p}
           \Lambda_{i_1} \cdots \Lambda_{i_{k-1}}\right) +
           \sum_k {\rm Tr} \left(\Lambda \Lambda_{i_{k+1}} \cdots \Lambda_{i_p}
           \Lambda_{i_1} \cdots \Lambda_{i_k}\right) \NR
 \NC \NC = 0 \NR [eq-29]
 \stopalign
\stopformula
となるからである。以上より一般に
\placeformula[eq-210]
\startformula
C_p = {\rm Tr} \left(\Lambda_{i_1} \cdots \Lambda_{i_p}\right)
      X_{i_1} \cdots X_{i_p}
\stopformula
はCasimir invariantである。(\in[eq-210])をCasimir invariant of $p$-th
orderあるいは$p$-th order Casimir operator ($p$次カシミア演算子)とよぶ。
今後、典型リー群のcompact formすなわち特殊ユニタリ群$SU(n)$、
実直交群$SO(N)$およびユニタリシンプレクティック群$Sp(2n)$の場合の$C_p$の
スペクトルを調べることにする。
\blank[big]
%
%
\section{$\bm{U(n)}$と$\bm{SU(n)}$のカシミア不変量}
\subsection[ssec-un]{$\bm{U(n)}$のカシミア不変量}
Lie algebra $L_G=u(n)$のbasesとして
\placeformula
\startformula
 \startalign
 \NC \NC M_i{}^i, \quad (i=1, 2, \ldots, n)\quad
                  \hbox{no sum over $i$}, \NR [eq-31]
 \NC \NC M_i{}^j, \quad (i \ne j),        \NR [eq-32]
 \NC \NC \left(M_i{}^i\right)^\dagger = M_i{}^i, \quad
                  \left(M_i{}^j\right)^\dagger
                  = M_i{}^j               \NR [eq-33]
 \stopalign
\stopformula
を考える。$M_i{}^i$, (no sum)はCartan subalgebraを形成する。
さて$u(n)$のelements (\in[eq-31])--(\in[eq-33])は
\placeformula[eq-34]
\startformula
{[}A_j{}^i, A_l{}^k{]} = \delta_l{}^i A_j{}^k
                        -\delta_j{}^k A_l{}^i,\quad
                        \left(A_i{}^j\right)^\dagger = A_j{}^i
\stopformula
を満たす$gl(n,R)$のelements $A_i{}^j$を用いて
\placeformula
\startformula
 \startalign
 \NC M_k{}^k \NC =  A_k{}^k, \quad (k = 1, 2, \ldots n),
        \quad \hbox{no sum over $k$},    \NR [eq-35]
 \NC M_l{}^k \NC =  A_l{}^k + A_k{}^l, \quad (k < l \leq n),
                                         \NR [eq-36]
 \NC M_k{}^l \NC =  i \left(A_l{}^k - A_k{}^l\right),
                    \quad (k < l \leq n) \NR [eq-37]
 \stopalign
\stopformula
として1次結合で表すことができる。つまり$GL(n,R)$のCasimir invariantsを
求めれば$U(n)$のCasimir invariantsもわかる。ここで(\in[eq-27])に
おける$\Lambda_i$として、$gl(n,R)$の$n$次元ベクトル
表現$(V_i{}^j)_l{}^s = \delta_{il} \delta^{js}$を使うことに
すれば、invariant tensor $g$は
\placeformula[eq-38]
\startformula
g_{i_1 \cdots i_p}^{j_1 \cdots j_p}={\rm Tr}
\left(V_{i_1}{}^{j_1} \cdots V_{i_p}{}^{j_p}\right)=
\delta_{i_1}{}^{j_p} \delta_{i_2}{}^{j_1} \cdots \delta_{i_p}{}^{j_{p-1}}
\stopformula
となるので
\placeformula[eq-39]
\startformula
C_p = g_{i_1 \cdots i_p}^{j_1 \cdots j_p}
      A_{j_1}{}^{i_1} \cdots A_{j_p}{}^{i_p}
    = A_{i_2}{}^{i_1} A_{i_3}{}^{i_2} \cdots A_{i_p}{}^{i_{p-1}} A_{i_1}{}^{i_p}
\stopformula
と書ける。$gl(n,R)$のCartan subalgebraは
\placeformula[eq-310]
\startformula
H_i = A_i{}^i,\quad (i = 1, 2, \ldots ,n),\quad \hbox{no sum over $i$}
\stopformula
である。

さて表現空間のベクトルであって、$H_i$の固有値が$m_i$であるものを$|m\rangle$と
記することにしよう。つまり
\placeformula[eq-311]
\startformula
H_i\, | m \rangle = m_i\, | m \rangle.
\stopformula
$n$個の数の組$m=(m_1,\ldots, m_n)$をweight vectorと呼ぶことにしよう。
2つのweight vectors $m$と$m'$の差$m-m'$の成分を第1成分から順番に見て
ゆくとき、初めて$0$でなくなるものが正のとき、$m$ is higher than $m'$と
言い、$m>m'$と書く。ある規約表現において$m$がそれ自身を除く他の
任意のweight $m'$に対して$m>m'$を満たすとき、$m$はhighest weightである
と言う。一般に規約表現はそのhighest weightによって指定することが
できる。(\in[eq-34])より
\placeformula[eq-312]
\startformula
{[}H_i, A_l{}^k{]}
= \left(\delta_l{}^i - \delta_k{}^i\right) A_l{}^k,
\quad\hbox{no sum}
\stopformula
であるから(\in[eq-311]), (\in[eq-312])より
\placeformula[eq-313]
\startformula
H_i A_l{}^k | m \rangle = \left(m_i + \delta_l{}^i - \delta_k{}^i\right)
                          A_l{}^k | m \rangle, \quad \hbox{no sum}
\stopformula
となる。(\in[eq-313])により$l < k$の場合、ベクトル$|m\rangle$に
対するweightよりもベクトル$A_l{}^k|m\rangle$に対するweightの方がhigherである
ことがわかる。この意味で$A_l{}^k$, $(l < k)$はraising operatorである。
従って$m$がhighest weightである場合、必然的に
\placeformula[eq-314]
\startformula
A_l{}^k | m \rangle = 0, \quad (l < k)
\stopformula
が成立する。今後$m$はhighest weightであるとする。いま
\placeformula[eq-315]
\startformula
\left(T_q\right)_j{}^i = A_{i_2}{}^i A_{i_3}{}^{i_2}
                         \cdots A_{i_q}{}^{i_{q-1}} A_j{}^{i_q}
\stopformula
なるテンソル演算子を定義すると(\in[eq-39])は
\placeformula[eq-316]
\startformula
C_p = \left(T_{p-1}\right)_j{}^i A_i{}^j
\stopformula
と書ける。(\in[eq-315])は
\placeformula[eq-317]
\startformula
{[}A_j{}^i,(T_q)_l{}^k{]} =
\delta_l{}^i (T_q)_j{}^k - \delta_j{}^k (T_q)_l{}^i
\stopformula
を満足することが確かめられるので、$(T_q)_l{}^k$, $(l < k)$もやは
りraising operatorであって
\placeformula[eq-318]
\startformula
(T_q)_l{}^k | m \rangle = 0, \quad (l < k)
\stopformula
である。(\in[eq-314]), (\in[eq-316]), (\in[eq-317])より
\startformula
 \startalign
 \NC C_p | m \rangle \NC =
     \left(\sum_{i > j} (T_{p-1})_j{}^i A_i{}^j+
     \sum_i (T_{p-1})_i{}^i A_i{}^i\right) | m \rangle \NR
 \NC \NC =
     \sum_{i > j} \left(A_j{}^i (T_{p-1})_j{}^i
     +\delta_i{}^i (T_{p-1})_j{}^j
     -\delta_j{}^j (T_{p-1})_i{}^i\right) | m \rangle
     +\sum_i m_i(T_{p-1})_i{}^i | m \rangle           \NR
 \stopalign
\stopformula
であるが、ここで(\in[eq-318])を使うと
\placeformula
\startformula
 \startalign
 \NC C_p | m \rangle \NC = \sum_{i>j} \left((T_{p-1})_j{}^j
                           -(T_{p-1})_i{}^i\right) | m \rangle
                           + \sum_i m_i (T_{p-1})_i{}^i | m \rangle \NR
 \NC \NC = \sum_{i=1}^n (m_i+n+1-2i) (T_{p-1})_i{}^i | m \rangle \NR [eq-319]
 \stopalign
\stopformula
となる。一方(\in[eq-315])より
\startformula
(T_{p-1})_i{}^i = \sum_j (T_{p-2})_j{}^i A_i{}^j,
\quad\hbox{no sum over $i$}
\stopformula
であるから、再び(\in[eq-314]), (\in[eq-318])に注意して
\placeformula
\startformula
 \startalign
 \NC (T_{p-1})_i{}^i | m \rangle \NC =
     \sum_{j=1}^n (T_{p-2})_j{}^i A_i{}^j | m \rangle \NR
 \NC \NC = \left(\sum_{j=1}^{i-1} (T_{p-2})_j{}^i A_i{}^j
           + m_i (T_{p-2})_i{}^i \right) | m \rangle  \NR
 \NC \NC = \sum_{j=1}^{i-1} \left((T_{p-2})_j{}^j-(T_{p-2})_i{}^i
           + A_i{}^j (T_{p-2})_j{}^i\right) | m \rangle
           + m_i (T_{p-2})_i{}^i | m \rangle \NR
 \NC \NC = \left((m_i+1-i) (T_{p-2})_i{}^i
           + \sum_{j=1}^{i-1} (T_{p-2})_j{}^j \right) | m \rangle,
           \,\hbox{(no sum over $i$)}        \NR [eq-320]
 \stopalign
\stopformula
となることがわかる。ここで
\placeformula[eq-321]
\startformula
 \theta_{ij}=
  \startmathcases
  \NC 1 \NC $(i>j)$    \NR
  \NC 0 \NC $(i\le j)$ \NR
  \stopmathcases
\stopformula
という記号を使えば(\in[eq-320])は
\placeformula
\startformula
 \startalign
 \NC (T_{p-1})_i{}^i | m \rangle \NC =
     \sum_{j=1}^n \{(m_i+1-i) \delta_{ij} + \theta_{ij}\}
     (T_{p-2})_j{}^j | m \rangle \NR
 \NC \NC = \sum_{j=1}^n a_{i j} (T_{p-2})_j{}^j
           | m \rangle, \quad\hbox{(no sum over $i$)}, \NR [eq-322]
 \stopalign
\stopformula
\placeformula[eq-323]
\startformula
a_{i j} = (m_i+1-i) \delta_{i j} + \theta_{i j}, \quad \hbox{(no sum)}
\stopformula
と書けることがわかる。(\in[eq-322])を繰り返し用いると
\placeformula
\startformula
 \startalign
 \NC (T_{p-1})_i{}^i | m \rangle \NC
      = \sum_j (a^{p-2})_{ij} (T_1)_j{}^j | m \rangle \NR
 \NC \NC = \sum_j (a^{p-2})_{ij} A_j{}^j | m \rangle  \NR
 \NC \NC = \sum_j (a^{p-2})_{ij} m_j | m \rangle,
           \quad\hbox{(no sum over $i$)}              \NR [eq-324]
 \stopalign
\stopformula
となるので、これと(\in[eq-319])よりhighest weight $m$を持つ表現
に対する$C_p$のスペクトル$C_p(m)$は
\startformula
C_p(m) = \sum_{i, j} (m_i + n + 1 - 2i)(a^{p-2})_{i j} m_j
\stopformula
となる。ところが(\in[eq-323])より
\startformula
\sum_k a_{k i} = m_i + n + 1 - 2i, \quad\sum_l a_{j l} = m_j
\stopformula
が成り立つから結局
\placeformula[eq-325]
\startformula
C_p(m) = \sum_{i, j, k,l}\,a_{k i}(a^{p-2})_{i j}a_{j l}
      =\sum_{i, j}\,a^p_{i j}
\stopformula
なる公式が得られる。(\in[eq-323])と(\in[eq-325])を使えば
任意の表現に対して任意の次数のCasimir invariantを計算することが
できる。

次に(\in[eq-325])の少し違った表し方を求めてみよう。
\placeformula[eq-326]
\startformula
\alpha_i = m_i + 1 - i
\stopformula
とすれば、行列$a$は
\placeformula[eq-327]
\startformula
a=
 \startpmatrix[n=5]
 \NC \alpha_1 \NC 0 \NC 0 \NC \cdots \NC 0 \NR
 \NC 1 \NC \alpha_2 \NC 0 \NC \cdots \NC 0 \NR
 \NC 1 \NC 1 \NC \alpha_3 \NC \cdots \NC 0 \NR
 \NC \vdots \NC \vdots \NC \vdots \NC \ddots \NC \vdots \NR
 \NC 1 \NC 1 \NC 1 \NC \cdots \NC \alpha_n \NR
 \stoppmatrix
\stopformula
のような形であり、$a$の固有値は明らか
に$\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$である。
そこで固有値$\alpha_i$に対する固有ベクトル
を$(X_{1 i}, X_{2 i}, \ldots, X_{n i})^T$とする。ここで記号$T$は
転置を示すものとする。
固有方程式より
\placeformula
\startformula
 \startalign
 \NC X_{jj} \NC =1, \,\,\hbox{(no sum over $j$)},\quad
                 X_{j + 1,j}=\frac{1}{\alpha_j - \alpha_{j + 1}},\,\,
                 \hbox{(no sum)}, \NR
 \NC X_{ij} \NC =\frac{1}{\alpha_j - \alpha_i}
                 \prod_{k = j+1}^{i - 1} \frac{\alpha_j - \alpha_k+1}{\alpha_j
                 - \alpha_k}, \quad (j \le i - 2) \NR [eq-328]
 \NC X_{i j} \NC = 0,\quad (j > i)
 \stopalign
\stopformula
と決めることができる。行列$a$は行列$B=(X_{i j})$によって
\placeformula[eq-329]
\startformula
B^{-1} a B = a_D,\quad
(a_D)_{i j} = \alpha_i \delta_{i j},
\quad\hbox{(no sum over $i$)}
\stopformula
のように対角化することができる。$B^{-1} = (y_{i j})$と書くことにすれば
\placeformula
\startformula
 \startalign
 \NC y_{jj} \NC =1,\,\,\hbox{(no sum over $j$)},\quad
                y_{j+1,j}=\frac{1}{\alpha_{j+1} - \alpha_j},\,\,
                \hbox{(no sum)} \NR
 \NC y_{ij} \NC = \frac{1}{\alpha_i - \alpha_j}
                \prod_{k=j+1}^{i-1}\frac{\alpha_i - \alpha_k + 1}
                {\alpha_i - \alpha_k},\quad(j \le i-2), \NR [eq-330]
 \NC y_{ij} \NC = 0,\quad(j > i) \NR
 \stopalign
\stopformula
となるので
\placeformula
\startformula
 \startalign
 \NC C_p(m) \NC = \sum_{i, j} a^p_{ij}
                = \sum_{k=1}^n \alpha^p_k\sum_{i=1}^n X_{ik}\sum_{j=1}^n y_{kj} \NR
 \NC        \NC = \sum_{i=1}^n \alpha^p_i
                  \prod_{j=1\,(j\ne i)}^n
                  \left(1+\frac{1}{\alpha_i-\alpha_j}\right) \NR [eq-331]
 \stopalign
\stopformula
であることがわかる。複素$\alpha$平面を考え、積分路として反時計回りの
半径$R$の円$\Gamma$を考えると(\in[eq-331])は
\placeformula[eq-332]
\startformula
C_p(m)=\lim_{R\rightarrow \infty}\frac{1}{2\pi i}
       \int_\Gamma \alpha^p \prod_{i=1}^n
       \left(1+\frac{1}{\alpha-\alpha_i}\right)\,d\alpha
\stopformula
と書ける。更に$\alpha = 1/z$と変数変換すると
\placeformula[eq-333]
\startformula
C_p(m)=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{1}{2\pi i}
       \int_{\gamma}\frac{1}{z^{p+2}}
       \prod_{i=1}^n
       \left(1+\frac{z}{1-\alpha_i z}\right)\,dz
\stopformula
となる。ただし$\gamma$は原点を中心として半径$\epsilon$の反時計回りの
円である。(\in[eq-333])によって
\placeformula[eq-334]
\startformula
\prod_{i=1}^n\left(1 + \frac{z}{1 - \alpha_i z}\right)
=1+nz+C_1(m)z^2+\cdots + C_p(m)z^{p+1} + \cdots
\stopformula
つまり
\placeformula[eq-335]
\startformula
G(z)=\frac{1}{z}\left(
      \prod_{i=1}^n\left(1 + \frac{z}{1-\alpha_i z}\right) - 1 \right)
\stopformula
なる関数を定義すれば
\placeformula[eq-336]
\startformula
G(z)=n+\sum_{p=1}^\infty C_p(m) z^p
\stopformula
となっていることがわかる。故に
\placeformula[eq-337]
\startformula
C_p(m) = \frac{1}{p!} \left. \frac{\partial^p}{\partial z^p}\,G(z)\right|_{z=0}
\stopformula
が成立する。この意味で$G(z)$をカシミア不変量の生成母関数という。
ともかくhighest weight $m=(m_1, m_2, \ldots, m_n)$を持つ$U(n)$の表現
の$C_p$を計算するには、単に関数$G(z)$を級数展開し、$z^p$の係数
を見るだけでよい。実際に計算する場合には公式(\in[eq-325])を使っても、
母関数の方法を使っても要する労力は同程度である。なお$U(n)$の
表現をYoung frameで特徴づけるとき、$m_i$は第$i$行の長さ(箱の数)で
ある。以上の議論では規格化については言及していないので、取り扱う
問題に応じて適当な規格化因子を決めなければならない。
%
\subsection{$\bm{SU(n)}$のカシミア不変量}
Lie algebra $su(n)$のCartan subalgebraは$n-1$次元であるが、これを1次従属
である$n$個のbasesで表すのが今の場合便利である。
つまり$gl(n,R)$の$A_i{}^i$, (no sum over $i$)を使い
\placeformula[eq-338]
\startformula
\tilde A_i{}^i = A_i{}^i - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n\, A_k{}^k,
\quad (i=1, 2, \ldots, n),
\quad\hbox{(no sum over $i$)}
\stopformula
とする。\in[ssec-un]で議論した$U(n)$の場合の$A_i{}^i$, (no sum over $i$)を
$\tilde A_i{}^i$, (no sum over $i$)で置き換える以外は全て同じ
議論が使える。(\in[eq-338])は$U(n)$の場合の$m_i$を
\placeformula[eq-339]
\startformula
\tilde m_i = m_i - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n m_k
\stopformula
に置き換えれば$SU(n)$のCasimir invariantsを得ることができることを示して
いる。それ故(\in[eq-325])と(\in[eq-323])に対応する公式は$SU(n)$の
場合は
\placeformula[eq-340]
\startformula
C_p(m)=\sum_{i, j}(a^p)_{ij},
\stopformula
\placeformula[eq-341]
\startformula
a_{ij}=\left(1-i+m_i-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n m_k\right)\delta_{ij}
      + \theta_{ij}
\stopformula
となる。また(\in[eq-326]), (\in[eq-335]), (\in[eq-336]),
(\in[eq-337])に対応する公式は
\placeformula
\startformula
 \startalign
 \NC \alpha_i \NC = 1-i+m_i-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n m_k,
                    \quad (i=1, 2, \ldots, n), \NR [eq-342]
 \NC G(z)     \NC = \frac{1}{z}\left(\prod_{i=1}^n
                     \left(1-\frac{z}{1-\alpha_i z}\right)-1\right),
                                               \NR [eq-343]
 \NC C_p(m)   \NC = \frac{1}{p!} \left. \frac{\partial^p}{\partial z^p}
                     \,G(z) \right|_{z=0}         \NR [eq-344]
 \stopalign
\stopformula
となる。$SU(n)$の表現をYoung frameで指定するとき、$m_i$は第$i$行の
長さ(箱の数)である。従ってstandard frameでは$m_n=0$である。式(\in[eq-340])あ
るいは(\in[eq-344])を直接用いて得られる応用上有用な例をいくつか最後の節
であげることにする。
%
%
\blank[big]
\section{$\bm{SO(N)}$と$\bm{Sp(2n)}$のカシミア不変量}
$Sp(2n)$は2次形式
\placeformula[eq-41]
\startformula
\sum_{i=1}^n\left(x^iy^{-i} - x^{-i}y^i\right)
=\sum_{i, j} h_{ij}x^iy^j,
\quad (i, j = -n, -n+1, \ldots -1, 1, \ldots, n)
\stopformula
を不変に保つような変換群として定義することができる。
ただし
\placeformula[eq-42]
\startformula
h_{ij} = \varepsilon_i \delta_{i,-j}\quad \hbox{(no sum over $i$)},
\stopformula
\placeformula[eq-43]
\startformula
 \varepsilon_i=
  \startmathcases
  \NC +1 \NC $(i>0)$    \NR
  \NC -1 \NC $(i<0)$    \NR
  \stopmathcases
\stopformula
である。(\in[eq-41])で$x^{-i}$などは単なる文字であり、$1/x^i$ではないので
注意しておく。一方$SO(N)$は2次形式
\startformula
\sum_{i=1}^N \xi^i \eta^i
\stopformula
を不変に保つ変換群として定義することができる。$Sp(2n)$と$SO(N)$を
統一的に扱うためには、$SO(N)$の場合の$N$次元ベクトルを次のように
組みかえた方が便利である:
\placeformula[eq-44]
\startformula
x^1=\frac{1}{\sqrt{2}} \left(\xi^1+i\xi^2\right),\,\,
x^{-1}=\frac{1}{\sqrt{2}} \left(\xi^1-i\xi^2\right),\,\,\ldots
\stopformula
\placeformula[eq-45]
\startformula
x^0 = \xi^N\quad \hbox{in the case that $N$ is odd.}
\stopformula
$\eta^i$についても同様である。そうすると
\placeformula[eq-46]
\startformula
\sum_{i=1}^N \xi^i \eta^i = \sum_{i, j} g_{ij}x^i y^i,
\stopformula
\placeformula[eq-47]
\startformula
g_{ij} = \delta_{i,-j}
\stopformula
と書ける。ただし
\placeformula[eq-48]
\startformula
 i, j =
  \startmathcases
  \NC -n,\ldots,-1,1,\ldots,n   \NC if $N=2n$,     \NR
  \NC -n,\ldots,-1,0,1,\ldots,n \NC if $N=2n+1$    \NR
  \stopmathcases
\stopformula
である。(\in[eq-46])より$SO(N)$は2次形式
\startformula
\sum_{i, j} g_{ij} x^i y^j
\stopformula
を不変に保つ変換群として定義されることになり、(\in[eq-41])と同じ
形なので$Sp(2n)$と同じように扱うことができる。$N=2n$の場合と、$N=2n+1$の
場合をくらべるとき、添え字の範囲が異なることに注意しなければならない。

2次形式を不変に保つような無限小変換を調べることにより、簡単にLie algebraの
性質がわかる。まず$SO(N)$の場合
\placeformula
\startformula
 \startalign
 \NC {[} X_j{}^i, X_l{}^k{]} \NC =
     \delta_j{}^kX_l{}^i-\delta_l{}^iX_j{}^k
     +\delta_j{}^{-l}X_{-i}{}^k-\delta_{-i}{}^kX_l{}^{-j}, \NR [eq-49]
 \NC X_j{}^i \NC = -X_{-i}{}^{-j}\qquad \left(SO(N)\right) \NR [eq-410]
 \stopalign
\stopformula
となり、$Sp(2n)$の場合
\placeformula
\startformula
 \startalign
 \NC {[} X_j{}^i, X_l{}^k{]} \NC =
     \delta_j{}^kX_l{}^i-\delta_l{}^iX_j{}^k
     +\varepsilon_i\varepsilon_j\delta_j{}^{-l}X_{-i}{}^k
     +\varepsilon_j\varepsilon_k\delta_{-i}{}^kX_l{}^{-j},
     \,\,\hbox{(no sum)}\NR [eq-411]
 \NC X_j{}^i \NC = -\varepsilon_i\varepsilon_jX_{-i}{}^{-j}
     \qquad \left(Sp(2n)\right)\,\,\hbox{(no sum)} \NR [eq-412]
 \stopalign
\stopformula
となる。いずれの場合もCartan subalgebraは$X_i{}^i$, (no sum),
$(n=1,2,\ldots,n)$で形成される。ところで
\placeformula[eq-413]
\startformula
{[} X_i{}^i, X_l{}^k {]}
=\left(\delta_i{}^k + \delta_i{}^{-l} - \delta_i{}^l - \delta_i{}^{-k}\right)
 X_l{}^k,\quad\hbox{(no sum over $i$)}
\stopformula
が$SO(N)$の場合にも$Sp(2n)$の場合にも成立するから、Cartan subalgebraのbasesの
順番を
\placeformula[eq-414]
\startformula
H_i = X_{n+1-i}{}^{n+1-i},\quad (i=1,2,\ldots,n)
\stopformula
で定義すれば$X_l{}^k$, $(l < k)$はraising operatorであることがわかる。
従って$m$がhighest weightであれば
\placeformula[eq-415]
\startformula
X_l{}^k |m\rangle = 0,\quad (l < k)
\stopformula
が成立する。(\in[eq-414])より
\placeformula[eq-416]
\startformula
X_i{}^i |m\rangle = m_{n+1-i} |m\rangle,\quad\hbox{(no sum)}
\stopformula
である。また
\placeformula[eq-417]
\startformula
X_{-i}{}^{-i} = -X_i{}^i,\quad\hbox{(no sum)}
\stopformula
であるから
\placeformula[eq-418]
\startformula
m_{n+1+i}=-m_{n+1-i}
\stopformula
が成り立つ。

$p$次のCasimir invariant $C_p$は(\in[eq-39])と同様に
\placeformula[eq-419]
\startformula
C_p = X_{i_2}{}^{i_1}X_{i_3}{}^{i_2}\cdots X_{i_p}{}^{i_{p-1}}X_{i_1}{}^{i_p}
\stopformula
と書けるが、テンソル演算子$T_q$を
\placeformula[eq-420]
\startformula
\left(T_q\right)_j{}^i = X_{i_2}{}^iX_{i_3}{}^{i_2}\cdots X_{i_q}{}^{i_{q-1}}
                         X_j{}^{i_q}
\stopformula
で定義すると
\placeformula[eq-421]
\startformula
C_p = \left(T_{p-1}\right)_j{}^i X_i{}^j
\stopformula
となる。(\in[eq-420]),(\in[eq-49]),(\in[eq-410]),(\in[eq-411])およ
び(\in[eq-412])より$SO(N)$の場合
\placeformula[eq-422]
\startformula
{[}X_j{}^i, (T_q)_l{}^k {]} = \delta_j{}^k(T_q)_l{}^i - \delta_l{}^i(T_q)_j{}^k
                + \delta_j{}^{-l}(T_q)_{-i}{}^k - \delta_{-i}{}^k(T_q)_l{}^{-j}
\stopformula
が成り立ち、$Sp(2n)$の場合
\placeformula[eq-423]
\startformula
{[}X_j{}^i, (T_q)_l{}^k {]} = \delta_j{}^k(T_q)_l{}^i - \delta_l{}^i(T_q)_j{}^k
                + \varepsilon_i\varepsilon_j\delta_j{}^{-l}(T_q)_{-i}{}^k
                + \varepsilon_j\varepsilon_k\delta_{-i}{}^k(T_q)_l{}^{-j}
\stopformula
が成り立つことを確かめることができる。(\in[eq-423])で
はno sum over $i$, $j$ and $k$である。(\in[eq-422])と(\in[eq-423])よ
り、$(T_q)_l{}^k$,\,$(l < k)$はraising operatorであり、$m$がhighest
weightのとき
\placeformula[eq-424]
\startformula
(T_q)_l{}^k |m\rangle = 0, \quad (l < k)
\stopformula
が成立する。また(\in[eq-422])と(\in[eq-423])より特に
\placeformula[eq-425]
\startformula
{[}X_i{}^j, (T_q)_j{}^i{]} = (1 \pm \delta_{-i}{}^j)
\left((T_q)_j{}^j - (T_q)_i{}^i\right),\quad\hbox{(no sum over $i$ and $j$)}
\stopformula
であることがわかる。ただし複号は上が$Sp(2n)$で下が$SO(N)$に相当する。
(\in[eq-415])と(\in[eq-416])より
\startformula
C_p |m\rangle = \sum_{i > j}(T_{p-1})_j{}^i X_i{}^j |m\rangle
              + \sum_i m_{n+1-i}(T_{p-1})_i{}^i |m\rangle
\stopformula
となるが、更に(\in[eq-424])と(\in[eq-425])を利用すると
\startformula
 \startalign
 \NC C_p |m\rangle \NC = \sum_{i > j}(1 \pm \delta_{-i}{}^j)
                         \left((T_{p-1})_i{}^i - (T_{p-1})_j{}^j\right) |m\rangle
                         +\sum m_{n+1-i}(T_{p-1})_i{}^i |m\rangle \NR
 \NC \NC =\sum_i\left(\sum_{j(j<i)}(1\pm\delta_{-i}{}^j)
          - \sum_{j(j>i)}(1\pm\delta_{-i}{}^j)+m_{n+1-i}\right)
          (T_{p-1})_i{}^i |m\rangle \NR
 \stopalign
\stopformula
を得る。次に
\placeformula[eq-426]
\startformula
\sum_{j (j < i)} (1 \pm \delta_{-i}{}^j) = 2r_i,
\stopformula
\placeformula[eq-427]
\startformula
\sum_{j (j > i)} (1 \pm \delta_{-i}{}^j) = 2s_i
\stopformula
とすれば
\placeformula[eq-428]
\startformula
C_p |m\rangle = \sum_i (m_{n+1-i} + 2r_i - 2s_i)(T_{p-1})_i{}^i |m\rangle
\stopformula
となる。一方(\in[eq-415])より
\startformula
 \startalign
 \NC (T_{p-1})_i{}^i |m\rangle \NC = \sum_j (T_{p-2})_j{}^i X_i{}^j |m\rangle \NR
 \NC \NC = \sum_{j (j \le i)}(T_{p-2})_j{}^iX_i{}^j | m \rangle ,
           \quad\hbox{(no sum over $i$)} \NR
 \stopalign
\stopformula
っであるが、(\in[eq-424])と(\in[eq-425])を使って
\startformula
(T_{p-1})_i{}^i|m\rangle=\left((m_{n+1-i}+2r_i)(T_{p-2})_i{}^i
 - \sum_{j(j<i)}(1\pm\delta_{-i}{}^j)(T_{p-2})_j{}^j\right) |m\rangle,
 \,\hbox{(no sum over $i$)}
\stopformula
だから
\placeformula[eq-429]
\startformula
a_{ij} = (m_{n+1-i} + 2r_i)\delta_{ij} - Q_{ij}, \quad\hbox{(no sum over $i$)},
\stopformula
\placeformula[eq-430]
\startformula
Q_{ij} =
 \startmathcases
 \NC 1 \pm \delta_{-i}{}^j, \NC $(i>j)$ \NR
 \NC 0,                     \NC $(i \le j)$ \NR
 \stopmathcases
\stopformula
で行列$a$を導入すると
\placeformula[eq-431]
\startformula
(T_{p-1})_i{}^i |m\rangle =
\sum_j a_{ij} (T_{p-2})_j{}^j |m\rangle,
\quad\hbox{(no sum over $i$)}
\stopformula
が得られる。(\in[eq-431])を繰り返し用いることによって結局
\placeformula[eq-432]
\startformula
(T_{p-1})_i{}^i |m\rangle =
\sum_j (a^{p-2})_{ij} m_{n+1-j} |m\rangle,
\quad\hbox{(no sum over $i$)}
\stopformula
となる。(\in[eq-428])と(\in[eq-432])より、highest weight $m$の表現
に対する$C_p$のスペクトル$C_p(m)$は
\startformula
c_p(m) = \sum_{i, j} (m_{n+1-i} + 2r_i - 2s_i)(a^{p-2})_{ij} m_{n+1-j}
\stopformula
と書ける。ところが(\in[eq-429])と(\in[eq-430])より
\startformula
 \startalign
 \NC \sum_k a_{ki} \NC = m_{n+1-i} + 2r_i - 2s_i, \NR
 \NC \sum_l a_{jl} \NC = m_{n+1-j}
 \stopalign
\stopformula
であるから、最終的に
\placeformula[eq-433]
\startformula
C_p(m) = \sum_{i, j} a^p_{ij} 
\stopformula
となる。最後に具体的に$SO(2n)$, $Sp(2n)$, $SO(2n+1)$の場合に分けて
行列$a$の形を与えておく。まず(\in[eq-426])より
\placeformula
\startformula
 \startalign
 \NC 2r_i \NC = n + i - 1 - \varepsilon_i,
                \quad\hbox{ for }SO(2n),  \NR [eq-434]
 \NC 2r_i \NC = n + i,
                \quad\hbox{ for }Sp(2n),  \NR [eq-435]
 \NC 2r_i \NC = n + i - \theta_{i0},
                \quad\hbox{ for }SO(2n+1) \NR [eq-436]
 \stopalign
\stopformula
であることがわかるので、(\in[eq-429])より
\placeformula
\startformula
 \startalign
 \NC a_{ij} \NC = (m_{n+1-i} + n + i - 1 - \varepsilon_i) \delta_{ij} -
                \theta_{ij} + \frac{1}{2}(1 + \varepsilon_i)\delta_i{}^{-j},
                \,\,SO(2n), \NR [eq-437]
 \NC a_{ij} \NC = (m_{n+1-i} + n + i) \delta_{ij} - \theta_{ij} -
                \frac{1}{2}(1 + \varepsilon_i) \delta_i{}^{-j},
                \,\,Sp(2n), \NR [eq-438]
 \NC a_{ij} \NC = (m_{n+1-i} + n + i - \theta_{i0}) \delta_{ij} -
                \theta_{ij} + \theta_{i0} \delta_i{}^{-j},
                \,\,SO(2n+1), \NR [eq-439]
 \stopalign
\stopformula
となる。ただし$i$についての和は行わないものとし、$\theta_{ij}$は(\in[eq-321])で
定義してある。(\in[eq-437]), (\in[eq-438]), (\in[eq-439])を(\in[eq-433])に
代入すれば任意の既約表現に対して任意の次数のCasimir invariantを計算
することができる。若干の有用な例を次節であげることにする。
%
%
\blank[big]
\section{幾つかの有用な公式}
\subsection{$\bm{SU(n)}$について}
$SU(n)$のdefining representationつまり$n$次元表現のhermitian
generatorsを$t_i$, highest weightが$m_i - (1/n)\sum_k m_k$,
(つまり Young frameの第$i$行の長さが$m_i$)である既約表現
のhermitian generatorsを$\Lambda_i$とする。規格化は
\placeformula[eq-51]
\startformula
{\rm Tr} (t_i t_j) = \frac{1}{2} \delta_{ij}
\stopformula
で固定する。
\placeformula[eq-52]
\startformula
C_2(m)\cdot \bm{1} = \sum_i \Lambda_i \Lambda_i ,
\stopformula
\placeformula[eq-53]
\startformula
{\rm Tr} (\Lambda_i \Lambda_j) = T(m) \delta_{ij} ,
\stopformula
\placeformula[eq-54]
\startformula
{\rm Tr} \left(\{\Lambda_i, \Lambda_j\}\Lambda_k\right)
= K(m) {\rm Tr}\left(\{t_i, t_j\} t_k\right),
\stopformula
で$C_2$, $T$, $K$を定義する。ただし$\{X, Y\} = XY + YX$であ
り、(\in[eq-54])は$n > 2$のときのみ意味がある。(\in[eq-54])は場
の理論におけるchiral anomalyに関係する重要な量である。
また$\bm{1}$は単位行列を表している。$C_2$, $T$, $K$に対する公式は
次の通りである。
\placeformula
\startformula
 \startalign
 \NC C_2(m)\NC  = \frac{1}{2n}\Bigg\{
   \Big(\sum_i m_i\Big)n^2 + \Big(\sum_i m_i^2 + \sum_i m_i
   -2\sum_i im_i\Big)n \NR
 \NC \NC\phantom= - \Big(\sum_i m_i\Big)^2\Bigg\},        \NR [eq-55]
 \NC T(m)  \NC  = \frac{1}{n^2-1}\,D(m)C_2(m),            \NR [eq-56]
 \NC K(m)  \NC  = \frac{1}{n(n^2-1)(n^2-4)}D(m)\Bigg\{
                   \Big(\sum_i m_i\Big)n^4
                   + 3\Big(\sum_i m_i^2 + \sum_i m_i      \NR
 \NC \NC\phantom=  -2\sum_i i m_i\Big)n^3 + \Big{[}
                   2\sum_i m_i - 6\sum_i i m_i - 6\sum_i i m_i^2
                   +6\sum_i i^2 m_i                       \NR
 \NC \NC\phantom=  -6 \Big(\sum_i m_i\Big)^2 + 3\sum_i m_i^2
                   + 2\sum_i m_i^3 \Big{]} n^2            \NR
 \NC \NC\phantom=  -6\Big(\sum_i m_i\Big)\Big(\sum_i m_i^2 + \sum_i m_i
                   -2\sum_i i m_i\Big)n
                   +4\Big(\sum_i m_i\Big)^3 \Bigg\}.      \NR [eq-57] 
 \stopalign
\stopformula
ここで$D(m)$は表現の次元であり、
\placeformula[eq-58]
\startformula
f_i = m_i + n - i,
\stopformula
\placeformula[eq-59]
\startformula
\Delta(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \prod_{i < j} (x_i - x_j)
\stopformula
とするとき
\placeformula[eq-510]
\startformula
D(m)= \frac{\Delta(f_1, f_2, \ldots, f_{n-1}, 0)}
       {\Delta(n-1, n-2, \ldots, 1,0)}
\stopformula
で与えられる。
%
\subsection{$\bm{SO(2n)}$について}
$2n$次元ベクトル表現のgeneratorsを$t_i$とし、highest weight
$m = (m_1, m_2, \ldots, m_n)$なる表現のgeneratorsを$\Lambda_i$とする。
規格化を
\placeformula[eq-511]
\startformula
{\rm Tr}(t_it_j) = \delta_{i j}
\stopformula
で固定し
\placeformula[eq-512]
\startformula
C_2(m)\cdot \bm{1} = \sum_i \Lambda_i \Lambda_j
\stopformula
とするとき
\placeformula[eq-513]
\startformula
C_2(m)=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n \Big(m_i^2 + 2(n-i) m_i\Big).
\stopformula
%
\subsection{$\bm{SO(2n+1)}$について}
$2n+1$次元ベクトル表現のgeneratorsを$t_i$とし、highest weight
$m=(m_1, m_2, \dots, m_n)$の表現のgenerratorsを$\Lambda_i$とする。
規格化を
\placeformula[eq-514]
\startformula
{\bf Tr}(t_it_j) = \delta_{ij}
\stopformula
で固定し
\placeformula[eq-515]
\startformula
C_2(m)\cdot \bm{1} = \sum_i \Lambda_i \Lambda_i
\stopformula
とするとき
\placeformula[eq-516]
\startformula
C_2(m) = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n\left\{m_i^2
         +2\Big(n + \frac{1}{2} - i\Big) m_i \right\}.
\stopformula
%
\subsection{$\bm{Sp(2n)}$について}
$2n$次元ベクトル表現のgeneratorsを$t_i$とし、highest weight
$m = (m_1, m_2, \ldots, m_n)$なる表現のgeneratorsを$\Lambda_i$とする。
規格化を
\placeformula[eq-517]
\startformula
{\rm Tr} (t_it_j) = \delta_{ij}
\stopformula
で固定し
\placeformula[eq-518]
\startformula
C_2(m)\cdot\bm{1} = \sum_i \Lambda_i \Lambda_i
\stopformula
とするとき
\placeformula[eq-519]
\startformula
C_2(m) = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n \Big\{m_i^2 + 2(n + 1 - i) m_i \Big\}.
\stopformula
%
%
%
\completepublications
\placepublications[criterium=all]
\stoptext
